Diferansiyel Denklemler (Differential Equations)

Matematikte, diferansiyel denklem, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemdir.[1] Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler. Bu denklemlerde, fonksiyonlar genellikle fiziksel ya da finansal değerlere, fonksiyon türevler ise değerlerin değişim hızlarına denk gelir.

Üniversitelerdeki Diferansiyel denklemler konularının örneklerler anlatılmasıdır. Öğrenciler diferansiyel denklemleri tanıyarak çözümleri hakkında detaylı bilgi sahibi olurlar. Türkiye ve Uluslar arası kabul görmüş okullardaki müfredatları içerir. Konu anlatımı yanında ağırlıklı olarak örnek çözümleri sunulmuştur. Öğrenciler farklı örnek uygulamaları ile konuyu iyice öğrenmeleri amaçlanmıştır. İTÜ, Yıldız Teknik Gebze Teknik gibi üniversitelerindeki Mühendislik fakülteleri müfredatları görülür. Diferansiyel denklemler, Matematikte fonksiyonların bir veya birden çok değişkene göre türevleri ile ilişkili denklemlerdi. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler.

Matematikte, diferansiyel denklem, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler.

Diferansiyel denklemler temel olarak iki kola ayrılırlar:

Normal diferansiyel denklemler (veya adi diferansiyel denklemler)

Kısmi diferansiyel denklemler .

Diferansiyel denklemler bilinmeyenlerin birbirleri ve katsayılarla ilgili konumlarına göre: Doğrusal diferansiyel denklemler, Doğrusal olmayan diferansiyel denklemler olarak da gruplanmaktadır. Doğrusal denklemlerin teorisi gelişmiş olmasına rağmen doğrusal olmayan denklemlerin keyfiyet analizi zordur ve bazen mümkün değildir. Bu durumlarda sayısal analiz teknikleri uygulanır.

Kısmi diferansiyel denklemler, katsayıların durumlarına ve zamana ait türevin mevcudiyetine göre

Eliptik diferansiyel denklemler

Parabolik diferansiyel denklemler

Hiperbolik diferansiyel denklemler şeklinde alt gruplara ayrılırlar.

Son iki tip denklem, zamana ait türevin mevcudiyetinden ötürü evrimsel olarak isimlendirilir.

Modern uygulamaların zorlaması ile ortaya çıkan:

Stokastik diferansiyel denklemler

Gecikmeli diferansiyel denklemler

tiplerindeki denklemler yukardakilerden farklı olarak değerlendirilebilirler.

Sabit ortamlarda denklemler verilere göre:

Başlangıç değer

Sınır değer

şeklinde sınıflandırılırlar. Sabit olmayan bir ortamda tanımlı denklemlere Serbest sınır değer problemleri veya Hareketli sınır değer problemleri denir.

Birçok denklemden oluşan ilişkilere denklem sistemi adı verilir.